第二节　变异指标

　　一、变异指标的意义及种类

　　设有甲乙两人，对同一名患者采耳垂血，检查红细胞数（万/mm³），每人数五个计数盘，得结果为

　　两人计数的均数都是500，能说两人的检验技术相同吗？不能，因为甲的计数结果比较密集，而乙的分散，因此甲的检验精度显然比乙的高。从上可以看出：描述一群变量值，除用平均数等表示其集中位置外，还要说明其分散或变异情况。说明变异情况的特征值称变异指标。变异指标的种类较多，下面分别介绍极差、四分位数间距、均差、方差、标准差及变异系数。

　　1．极差　最大值与最小值之差称极差（或全距），符号为R，是变异指标中最简单的一种。如上例甲计数的极差为520－480=40，乙的为560-440=120。可见乙的计数较甲的波动大。一般把最小值与最大值写在括号里，附在极差的后面。如上例写成40（480～520）与120（440～560）。其单位与变量值的相同。

　　当调查例数增多时，遇到较大或较小极端值的机会就加大，因此最大值与极差随着例数的增多而加大，但最小值却随着例数的增多而变小。

　　极差计算简便，但只考虑了最小、最大值，因此易受个别极端值的影响，且随例数的多少而变动，不稳定。仅用于粗略地说明变量值的变动范围。但在正态分布中可用以估计标准值范围，详见有关文献。

　　2．四分位数间距　极差的不稳定主要是受两极端数值的影响，于是有人将两端数据按比例去掉一定例数，这样所得数据就比较稳定了。例如两端各去掉25%，取中间50%数据的数值范围，那么只要计算P₂₅与P₇₅，求P₇₅与P₂₅之差即得四分位数间距，符号为Q。

　　Q=P₇₅-P₂₅ （4.12）

　　例4.7　试计算表4.8七岁男童坐高的四分位数间距

　　求 P₂₅的位置102×.25=.25.5.

　　求 P₇₅的位置102×.75=.76.5.

　　求累计频数得：

　　L₂₅=65，L₇₅=68，

　　A₂₅=22，A₇₅=75，

　　f₂₅=15, f₇₅=13, i=1

表4.8　7岁男童的坐高

　　代入式（4.5）得：

　　Q=68.12-65.23=2.89 cm

　　有50%的7岁男童，坐高在65.23～68.12cm之间，其四分位数间距为2.89cm。

　　3．均差　四分位数间距虽比极差稳定，但仍只是两点之间的距离，没有利用每个变量值的信息。于是有人计算每个变量值与均数（或中位数）差的绝对值之和，然后平均称为均差（或平均直线差）作为变异指标之一。

　　　　　 (4.13)

　　例4.8 试计算4.3中，心重的均差。

　　由例4.3知X=293.75g，代入式（4.13）得

　　4．方差　式式（4.13）中用变量值与均数之差的绝对值之和∑∣X-X∣，而不用离均差之和∑(X-X)是因为∑（X-X）=0，不能说明变异情况，故取绝对值以去掉负号。亦有人用平方的办法，即用离均差平方和∑（X-x ）²，既去掉了负号，又提高了指标的灵敏性。因为数值愈大，平方后增大的愈多，所以离均差稍有变化，就能从指标上反映出来。例如有甲乙两组数据如下：

　　乙组仅有两个数据与甲组的不同，这种不同从∑∣X-X∣或均差上是反映不出来的，但从∑（X-X）²上却反映出来了。以∑（X-X）²组成的变异指标有方差与标准差。方差是标准差的平方，将在第八章讨论，下面先介绍标准差。

二、标准差

　　1．标准差的公式　样本标准差是用得最多的变异指标，其公式为

　　 (4.14)

　　式（4.14）中的n-1是自由度。n个变量值本有n个自由度，但计算标准差时用了样本均数X，因此就受到了一个条件即∑X= nX的限制。例如有4个数据，它们的均数为5。由于受到均数为5的限制，4个数据中只有3个可以任意指定。如果任意指定的是4、3、6，那么第4个数据只能是7，否则均数就不是5了。所以标准差的自由度为n-1。

　　2．标准差的计算

　　（1）按基本公式（4.14）计算

　　例4.9 用例4.3资料计算心重的标准差。

　　已算得X=293.75g，代入式（4.14）得

　　（2）递推法当用电子计算机进行计算，希望每输入一个数据，都能得到X与S，则将式（4.8）与式

　　（4.5）配合计算。

(4.15)

　　这里S_n表示n个数据的标准差，S_n-1表示n-1个数据的标准差。X_n是第n个数据，X_n-1是n-1个数据的均数。

　　例4.10 仍用例4.3资料，已算得前19例心重的X₁₉=292.37，S₁₉=38.71。X₂₀=320，代入式（4.15）得

　　（3）直接法 不需先计算均数，直接用变量值代入式（4.16）或式(1.17)计算。

（4.16)　

　　或　　　(4.17)