基本概念

在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析函数描述数据（通常是测量值）的任务。对这个问题有两种方法：

图示说明

图11.1 展示了这两种方法的区别：

• 标有 o 的是数据点

• 实线：连接数据点，描绘了线性内插

• 虚线：数据的最佳拟合曲线

曲线拟合的核心问题

1. 最佳拟合意味着什么？

2. 应该用什么样的曲线？

最小二乘曲线拟合

当最佳拟合被解释为数据点的误差平方和最小，且所用的曲线限定为多项式时，曲线拟合是相当简捷的。数学上称为多项式的最小二乘曲线拟合。

误差：虚线和数据点之间的垂直距离
误差平方和：对各数据点距离求平方，再全部加起来
最小二乘：使误差平方和最小的省略说法

MATLAB中的曲线拟合函数

polyfit 函数

MATLAB中，函数 polyfit 求解最小二乘曲线拟合问题。

示例：2阶曲线拟合

原始数据：

x = [0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1];
y = [-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2];

2阶多项式拟合：

n = 2;                    % 多项式阶次
p = polyfit(x, y, n)

输出结果：

p = -9.8108   20.1293   -0.0317

拟合曲线方程：y = -9.8108x² + 20.1293x - 0.0317

绘制拟合曲线与数据点对比：

xi = linspace(0, 1, 100);      % 绘图用的x轴数据
z = polyval(p, xi);            % 计算多项式在xi点的值

plot(x, y, 'o', xi, z, ':')
xlabel('x'), ylabel('y=f(x)')
title('Second Order Curve Fitting')

结果如图11.1所示。

多项式阶次的选择

注意：在本例中有11个数据点，理论上可选择高达10阶的多项式。

高阶多项式的问题

1. 数值特性差

2. 近似不够光滑（较高阶次多项式在变零前可多次求导）

3. 产生纹波现象（尤其在数据区间两端）

示例：10阶多项式拟合

pp = polyfit(x, y, 10);
format short e
pp.'      % 显示多项式系数（列向量）

系数输出：

ans = 
   -4.6436e+005
    2.2965e+006
   -4.8773e+006
    5.8233e+006
   -4.2948e+006
    2.0211e+006
   -6.0322e+005
    1.0896e+005
   -1.0626e+004
    4.3599e+002
   -4.4700e-001

最小系数（-4.4700e-001）与最大系数（5.8233e+006）之间相差7个数量级

绘制对比图：

zz = polyval(pp, xi);         % 计算10阶多项式值
plot(x, y, 'o', xi, z, ':', xi, zz)
xlabel('x'), ylabel('y=f(x)')
title('2nd and 10th Order Curve Fitting')

结果如图11.2所示：

• 原始数据：标以 o

• 2阶曲线拟合：虚线

• 10阶拟合：实线

结论：在10阶拟合中，左右两端极值处出现大的纹波。这表明："越多就越好"的观念在这里不适用。

关键函数总结